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Le cube des couleurs

Une situation à la frontière des mathématiques, de la physique et de l’informatique

samedi 15 octobre 2016, par igmaths

Ce petit texte propose de relier certains concepts de mathématiques au niveau du lycée avec une problématique connue en infographie, la représentation des couleurs (la théorie jointe à la pratique des couleurs s’appelle la colorimétrie). Nous aurons ainsi l’occasion de visiter divers programmes de Mathématiques et de Physique avec pour but de renouveler diverses questions de géométrie comme les systèmes de coordonnées en dimension 3 ainsi que les équations de plan.

Le cube des couleurs

Les couleurs sur un écran d’ordinateur, comme sur la rétine, s’obtiennent par combinaison de trois couleurs primaires, le rouge, le vert et le bleu. Il s’agit de la « synthèse additive » des couleurs, telle qu’abordée dans le programme de Physique en classe de Première ; cette synthèse est additive au sens où la combinaison se fait par addition des amplitudes (ou intensités lumineuses) pour chaque longueur d’onde donnée.

Informatiquement parlant, on code une couleur comme une suite de trois nombres R, V, B (en anglais RGB) indiquant l’intensité respective de ces trois couleurs primaires. Le modèle RVB propose de coder sur un octet chaque composante de couleur, ce qui correspond à 256 intensités de rouge (de 0 à 255), 256 intensités de vert et 256 intensités de bleu, soient 16777216 possibilités théoriques de couleurs différentes, c’est-à-dire plus que ne peut en discerner l’œil humain (environ 2 millions). En divisant par 255, chaque intensité lumineuse varie donc entre 0% et 100%.

On peut donc représenter chacune de ces couleurs comme un point d’un cube de l’espace de dimension trois en considérant un repère orthonormé dont les trois axes R, V, B représentent les intensités de rouge, de vert et de bleu ; les couleurs représentables par ce modèle sont ainsi réparties dans un cube qu’on peut tenter de visualiser :

L’origine représente ainsi le noir (R=V=B=0) et le point opposé (R=V=B=1 en prenant 1 comme intensité maximale) le blanc.

Les trois sommets (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) représentent les trois couleurs de base (rouge, vert, bleu) et les trois sommets opposés, (0,1,1), (1,0,1) et (1,1,0), le cyan, le magenta et le jaune (ce dernier sommet est ici caché).

La grande diagonale de ce cube joignant le noir et le blanc s’appelle l’axe achromatique, i.e. l’axe des gris.

Usage en classe

La présentation du cube peut être faite en classe de Seconde pour donner un peu de « piquant » à la partie de géométrie dans l’espace de ce programme qui propose :

• de développer la vision dans l’espace des élèves en entretenant les acquis du collège concernant les solides usuels ;

• d’introduire les notions de plans et droites de l’espace et leurs positions respectives ;

• de fournir ainsi des configurations conduisant à des problèmes aptes à mobiliser d’autres champs des mathématiques (géométrie plane, fonctions, probabilités) ou de la physique.

En classe de Première de la série STD2A, le cube des couleurs est explicitement mis en avant :

Le modèle conceptuel du cube est fondateur de l’ensemble de la géométrie dans l’espace et doit sous-tendre cette partie : représenté en perspective, il sert de support à la visualisation, perçu comme forme de base, il conduit à la construction d’objets plus complexes, en tant qu’objet abstrait, il mène à la discussion sur les synthèses des couleurs ; enfin, il est à la base du repérage cartésien.

Le travail sur les coordonnées en dimension 3 figure également dans le programme de la classe de Terminale de la série S.

Pour évoquer le cube des couleurs en classe entière, le vidéoprojecteur est quasiment indispensable tant pour la qualité du rendu des couleurs que pour les possibilités d’animation.

Avec l’aimable autorisation de Jean-Marc Decauwert, professeur émérite de l’université Joseph Fourier, l’applet java fourrni en lien peut être exécuté directement ou téléchargé afin d’être exécuté sans accès Internet (il faut avoir préalablement installé la machine virtuelle Java sur son ordinateur, si vous parvenez à exécuter GeoGebra ou CarMetal c’est certainement le cas) :

colorcube.jar

Si vous voulez « jouer un peu » avec le cube tout de suite, allez voir sans tarder tout en bas de cet article.

Première étude du cube des couleurs

Voici deux autres vues du cube des couleurs.

Il s’agit de retrouver et tracer le repère (origine et axes) en identifiant certaines des couleurs.

Une étude plus fine du cube des couleurs

Le cube des couleurs présente cependant un inconvénient … c’est son opacité ! Pour mieux « y voir », il n’y a qu’un moyen, c’est de le « couper ». L’applet mentionné ci-dessus permet précisément de jouer un peu avec les sections du cube. Voici plusieurs sections planes du cube des couleurs. Les sommets de chacune des sections sont soit des sommets du cube, soit des milieux d’arêtes.

section 1section 2
section 3 section 4
section 5

Il s’agit de déterminer dans chaque cas la nature de la section obtenue.

On peut, au préalable, au travers d’un devoir maison par exemple, faire revoir différentes sections d’un cube par un plan, voire aborder (en classe de Première par exemple) quelques situations de géométrie repérée de l’espace (calcul de distances, etc.).

Ce travail d’identification peut aussi amener l’élève à chercher « où est passé » le repère initial, donc à replacer les trois axes.

À la découverte des équations de plan

En classe Terminale de la série S, on aborde le repérage dans l’espace et les équations de plans (a priori définis par trois points non alignés). Une fois admis (ou démontré) que les coordonnées de tous les points d’un plan vérifient la même relation, on peut envisager quelques démarches d’identification. Par exemple, à partir de ces six équations de plan :

(P1) x + y – 2z = 0 (P2) x + 2y + 2z = 2
(P3) x + y = 1 (P4) 2x + 2y + 2z = 3
(P5) x + y + z = 1 (P6) 2x – y – z = 0

il s’agirait de retrouver, pour chacune des cinq sections précédentes, l’équation de plan qui lui correspond ; il y a évidemment un intrus, et on peut aussi se demander à quoi ressemble la section du cube correspondant à l’intrus, mais c’est un peu plus difficile...

Quelques intersections de plans, l’axe achromatique

Voici un exemple de travail réalisable en classe entière (avec un vidéoprojecteur pour montrer les sections du cube).

(i). Déterminer une équation de ce plan(ii). Déterminer une équation de ce plan

(iii). Justifier que ces deux plans sont sécants en une droite D.
(iv). Tracer D sur le cube des couleurs.
(v). Justifier que les coordonnées des points M(x ;y ;z) appartenant à la droite D vérifient x=y et y=z.

La droite D matérialise l’axe des gris dit axe achromatique : c’est la grande diagonale du cube des couleurs joignant le blanc au noir.

La section 1 s’appelle également triangle de Maxwell, ou triangle des couleurs.

Elle est orthogonale à l’axe achromatique (on peut le vérifier analytiquement à l’aide du produit scalaire dans l’espace).

La représentation en teinte, saturation, valeur

L’hexagone de la section 4 (ci-dessus) peut suggérer une représentation en coordonnées polaires. De fait, cette représentation existe, c’est le système TSV (en anglais : HSV = Hue, Saturation, Value). Pour les points de la section 4, la teinte est un angle permettant de choisir l’un des rayons de l’hexagone partant du centre (la teinte 0° correspond à un rouge et la teinte 180° correspond à du cyan), la saturation est essentiellement le rayon polaire à partir du centre de l’hexagone. Pour les autres couleurs (ou points du cube), une homothétie de centre O (=noir) permet de se ramener à l’hexagone ; le rapport de cette homothétie est essentiellement la luminosité de la couleur.

Les formules de conversion entre ces deux systèmes de représentation sont assez complexes ; nous renvoyons aux références à la fin de cet article pour plus de détails.

Sitographie

Cet article est tiré d’une ressource pédagogique originellement destinée à la série STD2A et publiée par la DGESCO à l’adresse suivante :

http://eduscol.education.fr/cid45766/ressources-pour-faire-la-classe-au-college-et-au-lycee.html

Un bon site introductif à la couleur est le suivant :

http://pourpre.com

et un site, en anglais, beaucoup plus complet :

http://www.huevaluechroma.com/index.php

Les questions physiques et biologiques sous-jacentes sont expliquées dans le site suivant (nettement plus difficile) :

http://graphics.stanford.edu/courses/cs178/applets/colormixing.html

Les formules de conversion entre RGB et TSV sont abordées dans deux documents de l’IREM de Montpellier :

http://www.irem.univ-montp2.fr/optionsciences/20052006/nuanciers.pdf

http://www.irem.univ-montp2.fr/optionsciences/20052006/rvbhsv.pdf

Un peu d’animation pour finir